波莱尔－坎泰利引理 (Borel-Cantelli Lemma)

定理（波莱尔－坎泰利引理）

设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是一个概率空间[reference

]，$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $\mathcal{F}$ 中的一列事件[reference]。

第一部分（直接部分）

若事件概率之和收敛，即

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty,$$

则这列事件中有无限多个同时发生的概率为零[reference

][reference]：

$$P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = 0.$$

第二部分（间接部分）

若 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是相互独立的事件列[reference

]，且事件概率之和发散，即

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty,$$

则这列事件中有无限多个同时发生的概率为一[reference

]：

$$P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = 1.$$

---

证明

第一部分证明[reference

]

记 $A_n$ 发生无限多次的事件为

$$\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n.$$

由 Boole 不等式，对任意 $m \ge 1$，

$$P\left(\bigcup_{n=m}^{\infty} A_n\right) \le \sum_{n=m}^{\infty} P(A_n).$$

因为 $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty$，所以当 $m \to \infty$ 时，级数的余项趋于零：

$$\sum_{n=m}^{\infty} P(A_n) \to 0.$$

于是

$$P\left(\bigcup_{n=m}^{\infty} A_n\right) \to 0.$$

由概率的上连续性，

$$P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = \lim_{m \to \infty} P\left(\bigcup_{n=m}^{\infty} A_n\right) = 0.$$

证毕。

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第二部分证明[reference

]

因为 $\{A_n\}$ 相互独立，所以其补事件 $\{A_n^c\}$ 也相互独立[reference

]。

对任意 $m \ge 1$ 和 $m_1 > m$，

$$P\left(\bigcap_{n=m}^{m_1} A_n^c\right) = \prod_{n=m}^{m_1} P(A_n^c) = \prod_{n=m}^{m_1} (1 - P(A_n)).$$

利用不等式 $1 - x \le e^{-x}$（对所有 $x \ge 0$ 成立）[reference

]，

$$\prod_{n=m}^{m_1} (1 - P(A_n)) \le \prod_{n=m}^{m_1} e^{-P(A_n)} = \exp\left(-\sum_{n=m}^{m_1} P(A_n)\right).$$

由 $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty$，对任意固定的 $m$，也有 $\sum_{n=m}^{\infty} P(A_n) = \infty$[reference

]。

令 $m_1 \to \infty$，则

$$\exp\left(-\sum_{n=m}^{m_1} P(A_n)\right) \to 0.$$

因此

$$P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty} A_n^c\right) = 0.$$

于是

$$P\left(\liminf_{n \to \infty} A_n^c\right) = \lim_{m \to \infty} P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty} A_n^c\right) = 0.$$

最后，由事件的上极限与补事件的下极限之间的关系，

$$\limsup_{n \to \infty} A_n = \left(\liminf_{n \to \infty} A_n^c\right)^c,$$

得到

$$P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = 1.$$

证毕。