圆锥曲线里的简单代数结构

江无没有月
2025 年 8 月 3 日

1. 椭圆

1.1 点的参数化

定义 1. 对 $x,y,a,b\in R$，常数 $a,b > 0$，形如

$$\Gamma : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

的方程，叫做椭圆。

令 $x = a\sin \theta$，$y = b\cos \theta$，得到 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。

推论 1. 令 $t = \tan \frac{\theta}{2}$，则

$$\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$

于是椭圆参数化为

$$x = \frac{2at}{1 + t^2}, \qquad y = \frac{b(1 - t^2)}{1 + t^2}.$$

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1.2 点间的关系

对椭圆上任意两点

$$M\left(\frac{2am}{1 + m^2}, \frac{b(1 - m^2)}{1 + m^2}\right), \qquad N\left(\frac{2an}{1 + n^2}, \frac{b(1 - n^2)}{1 + n^2}\right)$$

直线 $MN$ 的方程为

$$a(1 - mn)y + b(m + n)x = ab(1 + mn). \tag{4}$$

定理 1. 对椭圆上一点 $M(m)$ 与平面一点 $F(x,y)$，设 $FM$ 与椭圆另一交点为 $F(M)$，对应参数为 $f(m)$，则

$$f(m) = \frac{bxm + a(y - b)}{a(y + b)m - bx}.$$

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1.3 其他性质

性质. $f(f(m)) = m$。

证明. 令 $\alpha = bx$，$\beta = a(y - b)$，$\gamma = a(y + b)$，则

$$f(m) = \frac{\alpha m + \beta}{\gamma m - \alpha}.$$

于是

$$f(f(m)) = \frac{\alpha \frac{\alpha m + \beta}{\gamma m - \alpha} + \beta} {\gamma \frac{\alpha m + \beta}{\gamma m - \alpha} - \alpha} = \frac{\alpha^2 m + \gamma\beta m}{\gamma\beta + \alpha^2} = m.$$

当 $\alpha + \theta = 0$ 时，$f(m) = \frac{\alpha m + \beta}{\gamma m - \alpha}$ 称为对合。

直线 $MN$ 的斜率：

$$k_{MN} = \frac{b}{a} \cdot \frac{m + n}{mn - 1}.$$

当 $M = N$ 时，切线斜率：

$$k_{TM} = \frac{2am}{b(m^2 - 1)}.$$

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1.4 应用

例 1. 椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，定点 $A(2,1)$，$B(3,-2)$，点 $M$ 在椭圆上运动，$AM$ 交椭圆于 $P$，$BM$ 交椭圆于 $Q$。求证 $PQ$ 过定点。

证明. 这里 $a = 2$，$b = 1$。设 $P,M,Q$ 参数为 $p,m,q$。

由 $M = A(P)$：

$$m = f_A(p) = \frac{2p}{2\sqrt{2}p - 2}.$$

由 $Q = B(M)$：

$$q = f_B(m) = \frac{3m - 3\sqrt{2}}{-\sqrt{2}m - 3}.$$

复合得

$$q = f_B(f_A(p)) = \frac{3p - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}p - 3}.$$

设直线 $PQ$ 上一点 $X(x,y)$，则

$$q = f_X(p) = \frac{xp + \sqrt{2}(y - 1)}{\sqrt{2}(y + 1)p - x}.$$

对比系数，解得定点为

$$\left(\frac{6}{7}, \frac{1}{7}\right).$$

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例 2. 过定点 $X(x_0, y_0)$ 作两条直线交椭圆于 $M,N,P,Q$，且 $MQ \cap NP = Y$。求证点 $Y$ 的轨迹为

$$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1.$$

证明. 设 $M,P$ 参数为 $m,p$，由点 $X$ 确定的对合为

$$n = f(m) = \frac{\alpha m + \beta}{\gamma m - \alpha}, \qquad q = f(p) = \frac{\alpha p + \beta}{\gamma p - \alpha}.$$

其中 $\alpha = bx_0$，$\beta = a(y_0 - b)$，$\gamma = a(y_0 + b)$。

分别写出 $MQ$ 和 $NP$ 的直线方程，相减消去 $m,p$，得

$$a(\gamma + \beta)y + 2\alpha b x = ab(\gamma - \beta).$$

代入 $\alpha,\beta,\gamma$，化简即得

$$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1.$$

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2. 扩展实数域

参数化 $x = \frac{2at}{1 + t^2}$，$y = \frac{b(1 - t^2)}{1 + t^2}$ 无法表示下顶点 $(0, -b)$，因为

$$-b = \frac{b(1 - t^2)}{1 + t^2} \Rightarrow t^2 - 1 = 1 + t^2 \Rightarrow 2 = 0,$$

矛盾。故引入扩展实数域

$$R_\infty = R \cup \{\infty\},$$

规定 $t = \infty$ 对应下顶点。